ゼロから作るDeep Learningの第二章を読んでみたメモ　パーセプトロン

dorako321

7年前

続きやっていきます。パーセプトロンですが、以前Cで実装したことがあるので、軽く流す程度にします。

パーセプトロン

アルゴリズム、人口ニューロンとも言い、ニューロンの仕組みを真似ている
ローゼンブラットというアメリカの研究者によって1957年に考案された
複数の信号を入力として受け取り、ひとつの信号を出力する
ニューロンの仕組みを基にしているので信号の出力を発火と読んでいる
パーセプトロンは発火する・しないの二値しか出力しない
このアルゴリズムを使ってANDゲートの作成するのは簡単
NANDゲートもANDゲートの符号を逆にするだけで実装可能
ORは閾値＝入力信号ｘ重み　としておけば実装可能

パーセプトロンの実装

ANDゲートの実装

def AND(x1, x2):
	w1, w2, theta = 0.5, 0.5, 0.7
	tmp = x1 * w1 + x2 * w2
	if tmp <= theta:
		return 0
	return 1

print('%s' % AND(0, 0)) # 0
print('%s' % AND(0, 1)) # 0
print('%s' % AND(1, 0)) # 0
print('%s' % AND(1, 1)) # 1

def AND(x1, x2):

w1, w2, theta = 0.5, 0.5, 0.7

tmp = x1 * w1 + x2 * w2

if tmp <= theta:

return 0

return 1

print('%s' % AND(0, 0)) # 0

print('%s' % AND(0, 1)) # 0

print('%s' % AND(1, 0)) # 0

print('%s' % AND(1, 1)) # 1

numpyを使って表現した場合（xは信号、wは重み、bはバイアス）

>>> import numpy as np
>>> x = np.array([0, 1])
>>> w = np.array([0.5, 0.5])
>>> b = -0.7
>>> w*x
array([ 0. ,  0.5])
>>> np.sum(w*x)
0.5
>>> np.sum(w*x) + b
-0.19999999999999996

>>> import numpy as np

>>> x = np.array([0, 1])

>>> w = np.array([0.5, 0.5])

>>> b = -0.7

>>> w*x

array([ 0. , 0.5])

>>> np.sum(w*x)

0.5

>>> np.sum(w*x) + b

-0.19999999999999996

numpyでANDゲートの関数化

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np

def AND(x1, x2):
	x = np.array([x1, x2]);
	w = np.array([0.5, 0.5]);
	b = -0.7
	tmp = np.sum(w*x) + b
	if tmp <= 0:
		return 0;
	return 1;

print('%s' % AND(0, 0)) # 0
print('%s' % AND(0, 1)) # 0
print('%s' % AND(1, 0)) # 0
print('%s' % AND(1, 1)) # 1

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np

def AND(x1, x2):

x = np.array([x1, x2]);

w = np.array([0.5, 0.5]);

b = -0.7

tmp = np.sum(w*x) + b

if tmp <= 0:

return 0;

return 1;

print('%s' % AND(0, 0)) # 0

print('%s' % AND(0, 1)) # 0

print('%s' % AND(1, 0)) # 0

print('%s' % AND(1, 1)) # 1

バイアスは発火のしやすさを調整する。

NANDゲートとORゲートの実装

NANDゲートは重みとバイアスの符号をANDと逆にしています。

def NAND(x1, x2):
	x = np.array([x1, x2]);
	w = np.array([-0.5, -0.5]);
	b = 0.7
	tmp = np.sum(w*x) + b
	if tmp <= 0:
		return 0;
	return 1;

print('%s' % NAND(0, 0)) # 1
print('%s' % NAND(0, 1)) # 1
print('%s' % NAND(1, 0)) # 1
print('%s' % NAND(1, 1)) # 0

def NAND(x1, x2):

x = np.array([x1, x2]);

w = np.array([-0.5, -0.5]);

b = 0.7

tmp = np.sum(w*x) + b

if tmp <= 0:

return 0;

return 1;

print('%s' % NAND(0, 0)) # 1

print('%s' % NAND(0, 1)) # 1

print('%s' % NAND(1, 0)) # 1

print('%s' % NAND(1, 1)) # 0

ORはAND、NANDと値が違います

def OR(x1, x2):
	x = np.array([x1, x2]);
	w = np.array([1, 1]);
	b = 0.0
	tmp = np.sum(w*x) + b
	if tmp <= 0:
		return 0;
	return 1;

print('%s' % OR(0, 0)) # 0
print('%s' % OR(0, 1)) # 1
print('%s' % OR(1, 0)) # 1
print('%s' % OR(1, 1)) # 1

def OR(x1, x2):

x = np.array([x1, x2]);

w = np.array([1, 1]);

b = 0.0

tmp = np.sum(w*x) + b

if tmp <= 0:

return 0;

return 1;

print('%s' % OR(0, 0)) # 0

print('%s' % OR(0, 1)) # 1

print('%s' % OR(1, 0)) # 1

print('%s' % OR(1, 1)) # 1

パーセプトロンの限界

これまでOR, AND, NAND と実装しましたが、情報処理でよく見かけるのはXORですね。この実装例を記述しなかったのはパーセプトロンという仕組みではXORを実現できないからです。

実現できない理由としては、他は線形（直線）に分離できる問題でしたが、XORは線形に分離できないという他のゲートとはことなった事情があります。

多重パーセプトロン

パーセプトロンは層を重ねることでXORを実現することができ、これを多重パーセプトロンといいます。

これまで、AND、NAND、ORのゲートを作りましたが、を組み合わせて、XORを作れば良いのです。

情報処理に出てきそうな内容ですね。

XORゲートの実装

def XOR(x1, x2):
	s1 = NAND(x1, x2)
	s2 = OR(x1, x2)
	return AND(s1, s2)

print('%s' % XOR(0, 0)) # 0
print('%s' % XOR(0, 1)) # 1
print('%s' % XOR(1, 0)) # 1
print('%s' % XOR(1, 1)) # 0

def XOR(x1, x2):

s1 = NAND(x1, x2)

s2 = OR(x1, x2)

return AND(s1, s2)

print('%s' % XOR(0, 0)) # 0

print('%s' % XOR(0, 1)) # 1

print('%s' % XOR(1, 0)) # 1

print('%s' % XOR(1, 1)) # 0

まとめ

パーセプトロンでAND、NAND、ORゲートを表現できた
多重パーセプトロンを作ることでXORゲートを表現できた
多重パーセプトロンでは非線形領域を表現することができる